Решение квадратных уравнений

Основные понятия и определения.

Квадратным уравнением называется уравнение следующего вида: ax2+bx+c=0, где a, b, с - любые действительные числа, но a не равно 0, x - неизвестная искомая переменная.

Коэффициенты a, b, c имеют соответственно названия: a - старший коэффициент (коэффициент при ), - второй коэффициент (коэффициент при ), - свободный член.

Если старший коэффициент , то квадратное уравнение является приведенным, если же , то неприведенным.

Квадратное уравнение называется полным, если оно содержит все три слагаемых (то есть коэффициенты  и не равны нулю).

Квадратное уравнение называется неполным, если оно содержит не все три слагаемых ( то есть коэффициент  или  , или  и ).

Корнем квадратного уравнения называется такое значение переменной , при подстановке которого квадратный трехчлен обращается в ноль.

Решить квадратное уравнение – это значит найти все его корни или установить, что корней нет.

Теория для школьников.

При решении квадратного уравнения  школьникам необходимо придерживаться следующей схемы:

1)      Найти так называемый дискриминант по  формуле:

2)      Найти корни квадратного уравнения или установить их отсутствие, опираясь на следующие рассуждения:

- Если , то квадратное уравнение корней не имеет;

- Если , то квадратное уравнение имеет два корня, которые находятся по формулам:

- Если , то квадратное уравнение имеет один корень, который находится по формуле:

Решение квадратного уравнения  также можно получить, используя следующие формулы :

1)      Найти значение :

2)      Найти дискриминант по  формуле:

3)      Найти корни квадратного уравнения или установить их отсутствие, опираясь на следующие рассуждения:

- Если , то квадратное уравнение корней не имеет;

- Если , то квадратное уравнение имеет два корня, которые находятся по формулам:

- Если , то квадратное уравнение имеет один корень, который находится по формуле:

Теория для студентов.

При обучении в высшем учебном заведении нередко приходится сталкиваться с таким понятием, как комплексные корни уравнения.

Решение квадратных уравнений студентами – именно такой случай.

Напомним, что комплексное число имеет вид:

Где  и  - действительные числа,  - так называемая мнимая единица. При этом  носит название действительной части, а - мнимой части комплексного числа.

Мнимая единица обладает свойством:

Именно свойство мнимой единицы и будет использовано при решении квадратных уравнений.

При решении квадратного уравнения студентам необходимо придерживаться следующей схемы:

1)      Найти так называемый дискриминант по  формуле:

2)      Найти корни квадратного уравнения, опираясь на следующие рассуждения:

- Если , то квадратное уравнение имеет два комплексных корня:

- Если , то квадратное уравнение имеет два корня, которые находятся по формулам:

- Если , то квадратное уравнение имеет один корень, который находится по формуле:

Решение квадратного уравнения  также можно получить, используя следующие формулы :

1)      Найти значение :

2)      Найти дискриминант по  формуле:

3)      Найти корни квадратного уравнения, опираясь на следующие рассуждения:

- Если , то квадратное уравнение имеет два комплексных корня, которые находятся по формулам:

- Если , то квадратное уравнение имеет два корня, которые находятся по формулам:

- Если , то квадратное уравнение имеет один корень, который находится по формуле:

Примеры решения квадратных уравнений для школьников.

Пример 1: Решить квадратное уравнение .

Данное квадратное уравнение является полным неприведенным и имеет следующие коэффициенты: .

Найдем дискриминант: .

Так как , то квадратное уравнение имеет два корня.

Найдем их:

Таким образом, решением квадратного уравнения будут корни

Ответ:

Пример 2: Решить квадратное уравнение .

Данное квадратное уравнение является полным неприведенным и имеет следующие коэффициенты: .

Найдем дискриминант: .

Так как , то квадратное уравнение не имеет корней.

Ответ: Корней нет.

Пример 3: Решить квадратное уравнение .

Данное квадратное уравнение является полным приведенным и имеет следующие коэффициенты: .

Найдем дискриминант: .

Так как , то квадратное уравнение имеет один корень.

Найдем его:

Таким образом, решением квадратного уравнения будет корень

Ответ:

Пример 4: Решить квадратное уравнение .

Данное квадратное уравнение является полным неприведенным и имеет следующие коэффициенты: .

Решим заданное уравнение вторым способом, предложенным в теории:

Тогда .

Найдем дискриминант: .

Так как , то квадратное уравнение имеет два корня.

Найдем их:

Таким образом, решением квадратного уравнения будут корни

Ответ:

Пример 5: Решить квадратное уравнение .

Данное квадратное уравнение является полным неприведенным.

Для удобства расчетов умножим обе части уравнения на 9 и получим:

Будем решать полученное уравнение. Оно имеет следующие коэффициенты: .

Тогда .

Найдем дискриминант: .

Так как , то квадратное уравнение имеет два корня.

Найдем их:

Таким образом, решением квадратного уравнения будут корни

Ответ:

Пример 6: Решить квадратное уравнение .

Данное квадратное уравнение является полным неприведенным и имеет следующие коэффициенты: .

Тогда .

Найдем дискриминант: .

Так как , то квадратное уравнение имеет один корень.

Найдем его:

Таким образом, решением квадратного уравнения будет корень

Ответ:

Во всех примерах, рассмотренных выше, были заданы полные квадратные уравнения. Как же решать неполные уравнения? Рассмотрим решения на примерах.

Пример 7: Решить квадратное уравнение .

Данное квадратное уравнение является неполным неприведенным.

Можно решать данное квадратное уравнение по представленным выше схемам. Воспользуемся первой из них.

Квадратное уравнение имеет следующие коэффициенты: .

Найдем дискриминант: .

Так как , то квадратное уравнение имеет два корня.

Найдем их:

Таким образом, решением квадратного уравнения будут корни

Но возможно решить квадратное уравнение следующим, более простым, образом:

Поэтому либо , либо

Ответ:

Пример 8: Решить квадратное уравнение .

Данное квадратное уравнение является неполным неприведенным.

Квадратное уравнение имеет следующие коэффициенты: .

Найдем дискриминант: .

Так как , то квадратное уравнение имеет два корня. Найдем их:

Таким образом, решением квадратного уравнения будут корни

Но возможно решить квадратное уравнение следующим, более простым, образом:

Ответ:

Пример 9: Решить квадратное уравнение .

Данное квадратное уравнение является неполным неприведенным и имеет следующие коэффициенты: .

Будем решать его следующим образом:

Данное квадратное уравнение корней не имеет.

Ответ: Корней нет.

Пример 10: Решить квадратное уравнение .

Данное квадратное уравнение является неполным неприведенным и имеет следующие коэффициенты: .

Будем решать его следующим образом:

Данное квадратное уравнение имеет один корень .

Ответ: .

Примеры решения квадратных уравнений для студентов.

Пример 1: Решить квадратное уравнение .

Данное квадратное уравнение является полным неприведенным и имеет следующие коэффициенты: .

Найдем дискриминант: .

Так как , то квадратное уравнение имеет два корня.

Найдем их:

Таким образом, решением квадратного уравнения будут корни

Ответ:

Пример 2: Решить квадратное уравнение .

Данное квадратное уравнение является полным неприведенным и имеет следующие коэффициенты: .

Найдем дискриминант: .

Так как , то квадратное уравнение имеет два комплексных корня:

Таким образом, решением квадратного уравнения будут корни

Ответ:

Пример 3: Решить квадратное уравнение .

Данное квадратное уравнение является полным приведенным и имеет следующие коэффициенты: .

Найдем дискриминант: .

Так как , то квадратное уравнение имеет один корень.

Найдем его:

Таким образом, решением квадратного уравнения будет корень

Ответ:

Пример 4: Решить квадратное уравнение .

Данное квадратное уравнение является полным неприведенным и имеет следующие коэффициенты: .

Воспользуемся вторым способом решения квадратных уравнений студентами, описанный в теории:

Тогда .

Найдем дискриминант: .

Так как , то квадратное уравнение имеет два корня.

Найдем их:

Таким образом, решением квадратного уравнения будут корни

Ответ:

Пример 5: Решить квадратное уравнение .

Данное квадратное уравнение является полным неприведенным и имеет следующие коэффициенты: .

Тогда .

Найдем дискриминант: .

Так как , то квадратное уравнение имеет один корень.

Найдем его:

Таким образом, решением квадратного уравнения будет корень

Ответ:

Пример 6: Решить квадратное уравнение .

Данное квадратное уравнение является полным приведенным и имеет следующие коэффициенты: .

Тогда .

Найдем дискриминант: .

Так как , то квадратное уравнение имеет два комплексных корня:

Найдем их:

Таким образом, решением квадратного уравнения будут корни

Ответ:

Во всех примерах, рассмотренных выше, были заданы полные квадратные уравнения. Как же решать неполные уравнения? Рассмотрим решения на примерах.

Пример 7:  Решить квадратное уравнение .

Данное квадратное уравнение является неполным неприведенным.

Можно решать данное квадратное уравнение по представленным выше схемам. Воспользуемся первой из них.

Квадратное уравнение имеет следующие коэффициенты: .

Найдем дискриминант: .

Так как , то квадратное уравнение имеет два корня.

Найдем их:

Таким образом, решением квадратного уравнения будут корни

Но возможно решить квадратное уравнение следующим, более простым, образом:

Поэтому либо , либо

Ответ:

Пример 8: Решить квадратное уравнение .

Данное квадратное уравнение является неполным неприведенным.

Квадратное уравнение имеет следующие коэффициенты: .

Найдем дискриминант: .

Так как , то квадратное уравнение имеет два корня. Найдем их:

Таким образом, решением квадратного уравнения будут корни

Но возможно решить квадратное уравнение следующим, более простым, образом:

Ответ:

Пример 9: Решить квадратное уравнение .

Данное квадратное уравнение является неполным неприведенным и имеет следующие коэффициенты: .

Будем решать его следующим образом:

Ответ:

Пример 10: Решить квадратное уравнение .

Данное квадратное уравнение является неполным неприведенным и имеет следующие коэффициенты: .

Будем решать его следующим образом:

Данное квадратное уравнение имеет один корень .

Ответ: .