Решение производных функций

Основные понятия и определения.

Будем считать, что  - значения аргумента, а - соответствующие значения функции .

Приращением аргумента называется разность:

Приращением функции на отрезке называется разность:

Производной  от функции по аргументу  называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента:

Или с учетом понятий приращений аргумента и функции можно записать следующую формулу для производной:

Производная  от функции по аргументу  может иметь несколько обозначений:

-

-

-

Дифференцированием функции называется отыскание производной.

Пример 1: Используя определение производной, найти производную функции

Согласно условию задачи, для нахождения производной функции мы должны использовать непосредственно определение производной, не пользуясь формулами дифференцирования.

Дадим аргументу  приращение , тогда функция получит приращение

То есть выполненным выше действием мы, по сути, дав приращения аргументу и функции, подставили в заданную функцию вместосумму , а вместо аргумент  и составили уравнение.

Выразим из полученного уравнения приращение функции:

Так как  по условию задачи, то последнее выражение примет вид:

Найдем отношение приращения функции к приращению аргумента:

Найдем предел отношения приращения функции к приращению аргумента при , который и будет являться искомой производной по определению:

Таким образом, производная заданной функции  

Ответ:

Пример 2: Используя определение производной, найти производную функции

Согласно условию задачи, для нахождения производной функции мы должны использовать непосредственно определение производной, не пользуясь формулами дифференцирования.

Дадим аргументу  приращение , тогда функция получит приращение

Выразим из полученного уравнения приращение функции:

Так как  по условию задачи, то последнее выражение примет вид:

Найдем отношение приращения функции к приращению аргумента:

Найдем предел отношения приращения функции к приращению аргумента при , который и будет являться искомой производной по определению:

Таким образом, производная заданной функции  

Ответ:

Пример 3: Используя определение производной, найти производную функции

Согласно условию задачи, для нахождения производной функции мы должны использовать непосредственно определение производной, не пользуясь формулами дифференцирования.

Дадим аргументу  приращение , тогда функция получит приращение

Выразим из полученного уравнения приращение функции:

Так как  по условию задачи, то последнее выражение примет вид:

Преобразуем выражение для приращения функции, используя формулы разности синусов и косинусов:

В нашем случае:

Тогда выражение для приращения функции примет вид:

Найдем отношение приращения функции к приращению аргумента:

Найдем предел отношения приращения функции к приращению аргумента при  , который и будет являться искомой производной по определению:

Таким образом, производная заданной функции  

Ответ: