Площадь квадрата
ПЛОЩАДЬ КВАДРАТА
Выберете формулу вычисления площади квадрата, которую Вы планируете применить для решения поставленной перед Вами задачи:
| при известной длине стороны. |
| при известной длине диагонали. |
| при известной длине радиуса вписанной в квадрат окружности. |
| при известной длине радиуса описанной около квадрата окружности. |
Общая теория для вычисления площади квадрата.
Квадрат – это правильная плоская фигура, состоящая из четырех точек, три из которых не лежат на одной прямой, и четырех отрезков, соединяющих попарно эти четыре точки, все стороны и углы которой равны.
Точки называются вершинами квадрата и обозначаются заглавными латинскими буквами.
Отрезки называются сторонами квадрата и обозначаются парой заглавных латинских букв соответственно вершинам, которые отрезки соединяют.
Рисунок №1: Квадрат ABCD
На рисунке №1 представлен квадрат ABCD с вершинами A,B ,C, D и сторонами AB, BC, CD, DA.
Угол, образованный лучами AB и AD, называется углом при вершине A. Обозначается он как ∠A или ∠BAD, или ∠DAB.
Угол, образованный лучами BA и BC, называется углом при вершине B. Обозначается он как ∠B или ∠ABC, или ∠CBA.
Угол, образованный лучами CB и CD, называется углом при вершине C. Обозначается он как ∠C или ∠DCB, или ∠BCD.
Угол, образованный лучами AD и CD, называется углом при вершине D. Обозначается он как ∠D или ∠ADC, или ∠CDA.
Как видно из определения, стороны квадрата равны (AB=BC=CD=DA). Углы квадрата тоже между собой равные (∠A=∠B=∠C=∠D) и составляют 900.
Рисунок №2: Квадрат ABCD
На рисунке №2 отрезки AC и BD называются диагоналями квадрата.
Диагонали квадрата пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. То есть, AO=CO=BO=DO.
Диагонали квадрата делят углы, из которых они исходят, пополам.
Рисунок №3: Квадрат ABCD с вписанной и описанной окружностью.
Центр вписанной и описанной окружности совпадают и лежат в точке пересечения диагоналей квадрата.
На рисунке №3 отрезок ОК – радиус r вписанной в квадрат окружности, а отрезок ОВ – радиус R описанной около квадрата окружности.
Если обозначить сторону квадрата буквой a, диагональ буквой d, то справедливы следующие соотношения:
1. Радиус r вписанной в квадрат окружности равен половине стороны a квадрата.
2. Радиус R описанной около квадрата окружности равен половине диагонали квадрата. Так как диагональ квадрата d связана с стороной соотношением 
, то несложно получить зависимость радиуса описанной около квадрата окружности и его стороны:
Площадью S плоской фигуры, к которым относится и квадрат, называется ограниченное замкнутое пространство на плоскости. Площадь плоской фигуры показывает величину этой фигуры.
Площадь обладает несколькими свойствами:
1. Она не может быть отрицательной.
2. Если дана некоторая замкнутая область на плоскости, которая составлена из нескольких фигур, не пересекающихся друг с другом (то есть, фигуры не имеют общих внутренних точек, но вполне могут касаться друг друга), то площадь такой области равна сумме площадей составляющих ее фигур.
3. Если две фигуры равны, то и площади их равны.
4. Площадь квадрата, который построен на единичном отрезке, равна единице.
За единицу измерения площади принимают площадь квадрата, сторона которого равна единице измерения отрезков.
При решении задач часто используются следующие формулы вычисления площади квадрата:
1. Площадь квадрата равна квадрату его стороны: 
2. Площадь квадрата равна половине квадрата его диагонали: 
3. Площадь квадрата равна четырем квадратам радиуса вписанной окружности: 
4. Площадь квадрата равна двум квадратам радиуса описанной окружности: 
Пример 1: Вычислить площадь квадрата со стороной a=3.
Решение:
Для нахождения площади квадрата воспользуемся формулой вычисления площади квадрата:
Таким образом, имеем следующее:
Ответ: 
Пример 2: Найти сторону квадрата с площадью S=144 см2.
Решение:
Для нахождения стороны квадрата воспользуемся формулой вычисления площади квадрата:
Выразим из данной формулы сторону квадрата:
Таким образом, имеем следующее:
Ответ: 
Пример 3: Вычислить площадь квадрата с диагональю d=6.
Решение:
Для нахождения площади квадрата воспользуемся формулой вычисления площади квадрата:
Таким образом, имеем следующее:
Ответ: 
Пример 4: Найти диагональ квадрата с площадью S = 32 см2.
Решение:
Для нахождения диагонали квадрата воспользуемся формулой вычисления площади квадрата:
Выразим из данной формулы диагональ квадрата:
Таким образом, имеем следующее:
Ответ: 
Пример 5: Вычислить площадь квадрата, если радиус вписанной в него окружности r=5.
Решение:
Для нахождения площади квадрата воспользуемся формулой вычисления площади квадрата:
Таким образом, имеем следующее:
Ответ: 
Пример 6: Найти радиус вписанной в квадрат окружности, если его площадь S = 225.
Решение:
Для нахождения радиуса вписанной в квадрат окружности воспользуемся формулой вычисления площади квадрата:
Выразим из данной формулы радиус вписанной в квадрат окружности:
Таким образом, имеем следующее:
Ответ: 
Пример 7: Вычислить площадь квадрата, если радиус описанной около него окружности R=7.
Решение:
Для нахождения площади квадрата воспользуемся формулой вычисления площади квадрата:
Таким образом, имеем следующее:
Ответ: 
Пример 8: Найти радиус описанной около квадрата окружности, если его площадь S = 200.
Решение:
Для нахождения радиуса описанной около квадрата окружности воспользуемся формулой вычисления площади квадрата:
Выразим из данной формулы радиус описанной около квадрата окружности:
Таким образом, имеем следующее:
Ответ: 