Площадь треугольника
ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА
Выберете формулу вычисления площади треугольника, которую Вы планируете применить для решения поставленной перед Вами задачи:
| с использованием одной стороны и высоты, опущенной на эту сторону. |
| с использованием двух сторон и угла между ними. |
| с использованием стороны и двух прилежащих к ней углов. |
| с использованием трёх углов и стороны. |
| с использованием трёх сторон. |
| с использованием радиуса вписанной в треугольник окружности и трёх сторон треугольника. |
| c использованием радиуса описанной около треугольника окружности и трех сторон треугольника. |
| с использованием радиуса описанной около треугольника окружности и трех углов треугольника. |
| с использованием координат трёх вершин треугольника. |
Общая теория для вычисления площади треугольника
Треугольник – это плоская фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, которые соединяют попарно эти три точки.
Точки называются вершинами треугольника и обозначаются заглавными латинскими буквами.
Отрезки называются сторонами треугольника и обозначаются парой заглавных латинских букв соответственно вершинам, которые отрезки соединяют.
Рисунок №1: △ABC
На рисунке №1 представлен треугольник ABC, который обозначается как △ABC, с вершинами A,B ,C и сторонами AB, BC, CA.
Угол, образованный лучами AB и AC, называется углом при вершине A. Обозначается он как ∠A или ∠BAC, или ∠CAB.
Угол, образованный лучами BA и BC, называется углом при вершине B. Обозначается он как ∠B или ∠ABC, или ∠CBA.
Угол, образованный лучами CB и CA, называется углом при вершине C. Обозначается он как ∠C или ∠ACB, или ∠BCA.
Часто стороны треугольника обозначаются прописными латинскими буквами соответственно углу, напротив которого лежит сторона, а углы треугольника обозначаются греческими буквами.
Рисунок №2: △ABC
На рисунке №2 представлен треугольник △ABC со сторонами a,b и с, углами α, β и γ.
Треугольники по типу углов подразделяются на остроугольные, тупоугольные и прямоугольные.
Рисунок №3:
Треугольники, подразделенные по типу углов.
Треугольник называется остроугольным, если все его углы острые, то есть, если все его углы менее 900.
Треугольник называется тупоугольным, если один из его углов тупой, то есть, если один из его углов более 900.
Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов прямой, то есть, если один из его углов равен 900.
Треугольники по количеству равных сторон подразделяются на разносторонние, равнобедренные и равносторонние.
Рисунок №4: Треугольники, подразделенные по количеству равных сторон
Треугольник называется разносторонним, если все стороны треугольника не равны друг другу, то есть, если все стороны треугольника имеют разную длину.
Треугольник называется равнобедренным, если только две стороны треугольника равны друг другу, то есть, если только две стороны треугольника имеют одинаковую длину.
Треугольник называется равносторонним, если все три стороны треугольника равны друг другу, то есть, если все три стороны треугольника имеют одинаковую длину.
Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенной из вершины треугольника к противоположно лежащей стороне или к ее продолжению.
Рисунок №5: Высоты треугольника △ABC
На рисунке №5 представлены высоты:
ha – высота, опущенная из вершины А на сторону BC
hb – высота, опущенная из вершины B на сторону AC,
hc – высота, опущенная из вершины C на сторону AB.
Высоты ha и hb выходят за границы треугольника и опускаются на продолжения соответствующих сторон.
Биссектрисой треугольника называется отрезок, проведенной из вершины треугольника к противоположно лежащей стороне и делящий угол при вершине пополам. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.
Рисунок №6: Биссектрисы треугольника △ABC
На рисунке №6 представлены биссектрисы:
ba –биссектриса, опущенная из вершины А на сторону BC,
bb – биссектриса, опущенная из вершины B на сторону AC,
bc – биссектриса, опущенная из вершины C на сторону AB.
Точка О – центр вписанной окружности.
Медианой треугольника называется отрезок, проведенной из вершины треугольника к противоположно лежащей стороне и делящий эту сторону пополам. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в соотношении 2:1.
Рисунок №7: Медианы треугольника △ABC
На рисунке №7 представлены медианы:
ma – медиана, опущенная из вершины А на сторону BC
mb – медиана, опущенная из вершины B на сторону AC,
mc – медиана, опущенная из вершины C на сторону AB.
Средней линией треугольника называется отрезок, который соединяет середины двух сторон треугольника.
Рисунок №8: Средние линии треугольника △ABC
На рисунке №8 представлены средние линии:
d – средняя линия, соединяющая стороны AB и AC,
e – средняя линия, соединяющая стороны AB и BC,
f – средняя линия, соединяющая стороны AC и BC.
Срединным перпендикуляром называется перпендикуляр, который проведен к середине стороны треугольника. Все срединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром описанной окружности.
Рисунок №9: Срединные перпендикуляры треугольника △ABC
На рисунке №9 представлены срединные перпендикуляры:
ca – срединный перпендикуляр, опущенный на сторону BC,
cb – срединный перпендикуляр, опущенный на сторону AC,
cc – срединный перпендикуляр, опущенный на сторону AB.
Точка О – центр описанной окружности.
Площадью плоской фигуры, к которым относится и треугольник, называется ограниченное замкнутое пространство на плоскости. Площадь плоской фигуры показывает величину этой фигуры.
Площадь обладает несколькими свойствами:
1. Она не может быть отрицательной.
2. Если дана некоторая замкнутая область на плоскости, которая составлена из нескольких фигур, не пересекающихся друг с другом (то есть, фигуры не имеют общих внутренних точек, но вполне могут касаться друг друга), то площадь такой области равна сумме площадей составляющих ее фигур.
3. Если две фигуры равны, то и площади их равны.
4. Площадь квадрата, который построен на единичном отрезке, равна единице.
За единицу измерения площади принимают площадь квадрата, сторона которого равна единице измерения отрезков.