Решение квадратных систем линейных уравнений методом Крамера

Тема 4. Решение квадратных систем линейных уравнений методом Крамера.

Методом Крамера вожможно решать только квадратные системы линейных уравнений.

Квадратной системой линейных уравнений называется система следующего вида:

Где - постоянные коэффициенты системы уравнений, - свободные члены, - переменные системы линейных уравнений.

То есть квадратной система будет являться, если количество переменных в уравнениях и количество самих уравнений равны между собой.

Решением системы линейных уравнений называются такие значения переменных , при подстановке которых в заданную систему уравнений получятся верные равенства.

Формулы Крамера:

Решения системы линейных уравнений можно найти по формулам:

если .

Где - определители, составленные следующим образом:

- определитель системы.

- дополнительные определители.

Несложно заметить, что определитель состоит из коэффициентов системы линейных уравнений, стоящих при переменных. Определитель  составлен путем замены коэффициентов системы, стоящих при переменной на соответствующие свободные члены. Определитель  составлен путем замены коэффициентов системы, стоящих при переменной на соответствующие свободные члены. Все последующие определители будут составляться аналогичным образом.

Обратим внимание на тот факт, что если определитель системы и дополнительные определители , то система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений.

Если определитель системы , но дополнительные хотя бы один из дополнительных  определителей не равен нулю, то система линейных уравнений несовместна и решений не имеет.

Пример 1: Решить систему уравнений .

Решение: Заданная система уравнений является линейной и квадратной, так как она содержит две переменные - () и состоит из двух уравнений.

Решим заданную систему методом Крамера.

Составим и найдем необходимые определители:

Для этого необходимо представить систему в следующем виде:

То есть, необходимо переписать систему так, чтобы все переменные x вместе с коэффициентами располагались друг под другом, переменные y и свободные члены тоже создали отдельные столбцы:

Воспользуемся формулами Крамера применительно к заданной системе линейных уравнений:

Составим определитель системы, дополнительные определители и вычислим их:

Как найти определитель второго порядка смотри в теме «ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ВТОРОГО ПОРЯДКА».

Тогда найдем искомое решение системы линейных уравнений:

Ответ:

Пример 2: Решить систему уравнений .

Решение: Заданная система уравнений является линейной и квадратной, так как она содержит три переменные- () и состоит из трех уравнений.

Решим заданную систему методом Крамера.

Составим и найдем необходимые определители:

Для этого необходимо представить систему в следующем виде:

Воспользуемся формулами Крамера применительно к заданной системе линейных уравнений:

Составим определитель системы, дополнительные определители и вычислим их:

Как найти определитель третьего порядка смотри в теме «ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА».

Тогда найдем искомое решение системы линейных уравнений:

Ответ:

Пример 3: Решить систему уравнений .

Решение: Заданная система уравнений является линейной и квадратной, так как она содержит три переменные- () и состоит из трех уравнений.

Решим заданную систему методом Крамера.

Составим и найдем необходимые определители:

Для этого необходимо представить систему в следующем виде:

Заметим, что если переменная отсутствует, восстанавливаем ее с коэффициентом «ноль». В нашем случае, во втором уравнении системы мы восстановили переменную z, а в третьем – переменную y.

Воспользуемся формулами Крамера применительно к заданной системе линейных уравнений:

Составим определитель системы, дополнительные определители и вычислим их:

Как найти определитель третьего порядка смотри в теме «ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА».

Тогда найдем искомое решение системы линейных уравнений:

Ответ:

Пример 4: Решить систему уравнений .

Решение: Заданная система уравнений является линейной и квадратной, так как она содержит три переменные- () и состоит из трех уравнений.

Составим и найдем необходимые определители:

Воспользуемся формулами Крамера применительно к заданной системе линейных уравнений:

Составим определитель системы:

Как отмечалось выше,если определитель системы , то система линейных уравнений либо несовместна, либо имеет бесконечное множество решений.

Найден дополнительные определители:

Как найти определитель третьего порядка смотри в теме «ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА».

Так как и дополнительные определители равны 0, то заданная система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений, то есть, - любое число.

Ответ: - любое число.

Пример 5: Решить систему уравнений .

Решение: Заданная система уравнений является линейной и квадратной, так как она содержит три переменные- () и состоит из трех уравнений.

Составим и найдем необходимые определители:

Воспользуемся формулами Крамера применительно к заданной системе линейных уравнений:

Составим определитель системы:

Как отмечалось выше,если определитель системы , то система линейных уравнений либо несовместна, либо имеет бесконечное множество решений.

Найден дополнительные определители:

Как найти определитель третьего порядка смотри в теме «ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА».

Так как и дополнительные определители , то заданная система линейных уравнений не имеет решений.

Ответ: Нет решений.

Квадратные системы линейных уравнений, состоящие из любого количества уравнений, решаются аналогично системам в приведенных выше примерах. Вся сложность сводится к верному отысканию определителя системы и дополнительных определителей.

Как найти определитель n-ого  порядка смотри в теме «ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ n-ого ПОРЯДКА».