Решение задач арифметической прогрессии

Выберете задачу, которую Вы планируете решить:

Основные понятия и определения.

Арифметической прогрессией  называется числовая последовательность следующего вида:

где каждый член , начиная со второго, равен сумме предыдущего  члена и числа   , так называемой разности арифметической прогрессии, а первый член прогрессии имеет конкретное значение.

Для наглядности можно привести следующие примеры арифметической прогрессии:

а) Это арифметическая прогрессия, у которой

б)  Это арифметическая прогрессия, у которой

в)  Это арифметическая прогрессия, у которой

г)  Это арифметическая прогрессия, у которой

Можно заметить, что если разность , то арифметическая прогрессия возрастающая. А если , то арифметическая прогрессия убывающая.

Если отбросить все члены арифметической прогрессии, которые следуют за выбранным конкретным числом, то она станет конечной.

Для вычисления n-ого члена арифметической прогрессии  используется следующая формула:

Необходимо знать, что каждый член арифметической прогрессии (кроме первого и последнего) равен среднему арифметическому предшествующего и последующего  членов (характеристическое свойство арифметической прогрессии):

Для вычисления суммы n членов арифметической прогрессии используется формула:

Иногда оказывается полезной при решении задач несколько видоизмененная формула вычисления суммы n членов арифметической прогрессии:

Пример 1: Составить формулу n-ого члена числовой последовательности

Легко заметить, что данная числовая последовательность является арифметической прогрессией, у которой

Составим формулу n-ого члена:

Ответ:

Пример 2: Составить формулу n-ого члена числовой последовательности

Легко заметить, что данная числовая последовательность является арифметической прогрессией, у которой

Составим формулу n-ого члена:

Ответ:

Пример 3: Составить формулу n-ого члена числовой последовательности

Легко заметить, что данная числовая последовательность является арифметической прогрессией, у которой

Составим формулу n-ого члена:

Ответ:

Пример 4: Дана арифметическая прогрессия

а) Известно, что . Найти .

б) Известно, что . Найти .

в) Известно, что . Найти .

г) Известно, что . Найти .

Во всех случаях в основе будет лежать формула для вычисления n-ого члена арифметической прогрессии:

а) Так как необходимо найти тринадцатый член арифметической прогрессии, то мы имеем следующие условия: .

Воспользуемся вышеприведенной формулой:

б) Так как известно, что .

Найдем , используя вышеприведенную формулу:

в) Так как задан четырнадцатый член арифметической прогрессии, то мы имеем следующие условия: .

Найдем , используя вышеприведенную формулу:

г) Так как задан первый и шестьдесят третий член арифметической прогрессии, то мы имеем следующие условия: .

Найдем , используя вышеприведенную формулу:

Ответ: а)  б)  в)  г)

Пример 5: Пятый член арифметической прогрессии равен 8,4, а ее десятый член равен 14,4. Найти двадцать второй член этой прогрессии.

По условию задачи имеем:  Составим формулы для пятого и десятого члена, используя формулу вычисления n-ого члена арифметической прогрессии:

Составим систему уравнений и решим ее:

Опираясь на полученные результаты, найдем :

Ответ:

Пример 6: Фигура составляется из квадратиков так, как показано на рисунке. В каждом следующем ряду на 3 квадрата больше, чем в предыдущем. Сколько квадратов в 91 ряду?

Легко заметить, что данную задачу можно решить, опираясь на понятия арифметической прогрессии, у которой  так как в первом ряду фигуры четыре квадрата, а так как в каждом последующем ряду на 3 квадрата больше, чем в предыдущем.

Опираясь на полученные выводы, найдем :

Примечание: На примере данной задачи видно, что не целесообразно рисовать девяносто один ряд фигуры и считать количество квадратов в нем, как делают многие ученики, что ведет к большому числу ошибок. Гораздо разумнее увидеть, что задача сводится к нахождению n-ого члена арифметической прогрессии.

Ответ:

Пример 7: В арифметической прогрессии Найти номер первого положительного члена этой прогрессии.

По условию задачи имеем:  Составим формулы для пятого и шестого члена, используя формулу вычисления n-ого члена арифметической прогрессии:

Составим систему уравнений и решим ее:

Так как необходимо найти номер первого положительного члена этой прогрессии, составим неравенство:

Так как номер не может быть дробным числом, то первый положительный номер, удовлетворяющий неравенству

Примечание: На примере данной задачи видно, что нет необходимости рассчитывать значения многих членов арифметической прогрессии и искать среди них первый положительный. Составление неравенства значительно упрощает задачи и не требует множества расчетов.

Ответ:

Пример 8: Дана конечная арифметическая прогрессия

а) Известно, что . Найти сумму  .

б) Известно, что. Найти .

Во всех случаях в основе будет лежать формула для вычисления суммы n членов конечной арифметической прогрессии:

а) Так как известно, что

Воспользуемся вышеприведенной формулой:

б) Так как известно, что .

Найдем , используя вышеприведенную формулу:

Ответ: а)  б)

Пример 9: Найти сумму всех четных четырехзначных  натуральных чисел.

Для того, чтобы понять какую сумму необходимо искать, напишем заданную последовательность четных четырехзначных натуральных чисел:. Заметим, что данная последовательность является конечной арифметической прогрессией, у которой .

Будем использовать формулу для вычисления суммы n членов конечной арифметической прогрессии:

Нам известны все составляющие данной формулы, кроме номера n последнего члена прогрессии. Найдем его из формулы вычисления n-ого члена арифметической прогрессии:

Найдем сумму :

Ответ:

Пример 10: Найти сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 200, которые не делятся на 6.

Данная задача несколько сложнее рассмотренной в предыдущем примере. Если мы напишем последовательность всех чисел, которые не делятся на 6, то заметим, что данная последовательность не будет являться арифметической прогрессией Как же нам найти её сумму?

Несложно догадаться, что если из суммы всех натуральных чисел, не превосходящих 200 вычесть сумму всех натуральных чисел кратных 6 и также не превосходящих 200, то мы получим нужную нам сумму.

Последовательность натуральных чисел, не превосходящих 200 выглядит следующим образом:. Это конечная арифметическая прогрессия, у которой .

Будем использовать формулу для вычисления суммы n членов конечной арифметической прогрессии:

Нам известны все составляющие данной формулы, кроме номера n последнего члена прогрессии. Найдем его из формулы вычисления n-ого члена арифметической прогрессии:

Найдем сумму :

Последовательность натуральных чисел, не превосходящих 200 и кратных 6 выглядит следующим образом:. Это конечная арифметическая прогрессия, у которой .

Будем использовать формулу для вычисления суммы n членов конечной арифметической прогрессии:

Нам известны все составляющие данной формулы, кроме номера n последнего члена прогрессии. Найдем его из формулы вычисления n-ого члена арифметической прогрессии:

Найдем сумму кратных 6 натуральных чисел :

Тогда сумма всех натуральных чисел, не превосходящих 200, которые не делятся на 6 вычислим по формуле:

Ответ:

Пример 11: При каких значениях  числа ,  и  образуют конечную арифметическую прогрессию?

Согласно характеристическому свойству, заданные выражения должны удовлетворять соотношению:

Решим это уравнение:

При этом значении заданные выражения принимают соответственно значения . Это арифметическая прогрессия, у которой разность

Ответ:

Автор статьи: Каташева Г.Г.